LA FILOSOFÍA DE JORGE GUILLERMO FEDERICO HEGEL La filosofía de Jorge Guillermo Federico Hegel (1770-1831) representa el eslabón culminante en la cadena de concepciones del idealismo alemán. A diferencia de Kant y Fichte, quienes se apoyaban en la teoría del derecho natural y del origen contractual del Estado, Hegel se manifiesta enérgicamente contra las tesis fundamentales de la teoría jurídico-natural. Su teoría es creada en una época en que la revolución burguesa en Francia habla concluido, en que se había implantado en ese país la dictadura burguesa ejercida por el gobierno de Napoleón, que ahogaba a la revolución francesa y sólo conservaba aquellos de sus resultados que convenían a la gran burguesía. No es casual que Hegel haya visto en aquel tiempo a Napoleón como la imagen del "espíritu mundial". Los rasgos reaccionarios de la teoría hegeliana concerniente al Estado y al derecho tienen su expresión más acabada en su Filosofía del derecho. Aparece ésta después de la caída del imperio napoleónico, cuando en Francia se había restaurado la monarquía borbónica y los reaccionarios que habían vuelto al poder trataban de Liquidar las conquistas de la revolución que subsistían durante Napoleón. En Alemania, la burguesía reaccionaria entraba en transacción con la nobleza y veía en el régimen monárquico-burocrático-policial de Prusia la salvación contra la revolución. La Santa Alianza (coalición de Rusia, Prusia, Austria, Inglaterra y Francia), que se propone como objetivo fundamental, no sólo la lucha contra el movimiento antifeudal, sino también la extirpación implacable de todo lo que pueda traer a la memoria algo de la revolución francesa, pasó a ser entonces dirigente de la política europea. En estas condiciones florece ampulosamente la ideología reaccionaria, cuya idea fundamental es el llamado principio del legitimismo, o sea, el "orden legal", infringido por la revolución. Mediante este principio se justificaron también la devolución del trono a los Berbenes en Francia y actos análogos en otros países. Sin embargo, la teoría hegeliana relativa al Estado y al derecho, que se había formado en medio de esta situación histórica, se diferencia considerablemente, por su contenido y esencia de clase, de las teorías reaccionarías de los devotos de la restauración feudal. Hegel reconoce algunos resultados virtuosos de la revolución francesa; pera el temor a ella lo conduce a la apología del Estado prusiano, en el que veía una fase superior en la evolución del "espíritu objetivo'". Hallábase primeramente bajo cierta influencia de Rousseau y de otros representantes de la tendencia jurídico-natural, pero se aleja pronto de las ideas de éstos y se convierte en adversario de la escuela del derecho natural. Hasta el período de la dictadura jacobina en Francia, Hegel manifiesta aún su énfasis por la revolución francesa, pero cambió radicalmente su actitud frente a ella a partir de 1793. En 1794, en una carta dirigida a Schelling, escribe con satisfacción sobre la reacción termidoriana, y condena el terror revolucionario de los partidarios de Robespierre. En su Fenomenología del espíritu Hegel caracteriza la revolución como la "furia de la desesperación". Su filosofía del derecho y su Filosofía de la historia representan un ensalzamiento enfático del sistema estatal prusiano. Estas obras cristalizan totalmente los aspectos reaccionarios de la filosofía de Hegel posteriormente utilizados por los ideólogos del fascismo italiano y germano. LA TEORÍA FILOSÓFICA DE HEGEL Está traduce la tentativa de ofrecer el sistema más consecuente del idealismo, después de rechazados el agnosticismo kantiano y el idealismo subjetivo de Fichte. Al mismo tiempo, Hegel desarrolla en todos los aspectos la teoría de la dialéctica como método de conocimiento. Sin embargo, esta teoría descansa sobre bases idealistas. Los clásicos del marxismo-leninismo hicieron notar más de una vez que en la filosofía idealista hegeliana había que saber diferenciar el sistema del método, que en la dialéctica idealista hegeliana existía un núcleo racional, la teoría de la evolución, que ve la fuerza motriz fundamental del desarrollo en la lucha interna de los contrarios inherentes a cada fenómeno. Pero a la vez los clásicos del marxismo-leninismo señalaron que en Hegel se revela una contradicción entre su sistema y su método. Marx opone directamente su propio método al hegeliano. Para Hegel, el proceso del raciocinio al que convierte incluso, bajo el nombre de idea, en sujeto con vida propia es el demiurgo (creador) de lo real y esto, lo real, no es sino su manifestación extrema. El sistema filosófico hegeliano se erige sobre el mismo principio fundamental; para Hegel todo lo real representa la evolución de cierto principio absoluto, que adopta múltiples y variadas formas de expresión a través de una serie de fases sucesivamente ascendentes. La primera fase el desarrollo de la idea hasta convertirse en un absoluto, en su forma pura recibe su expresión en la lógica. La segunda fase la manifestación de la idea en el espacio y en el tiempo, o, empleando las palabras de Hegel, la "enajenación de la idea" (es decir, la existencia en manifestación externa) es la naturaleza. La tercera fase es la idea en su estado más desarrollado, en el espíritu, lo que significa el retorno de la idea a sí misma. De conformidad con esto su filosofía se divide en tres partes fundamentales: la lógica, la filosofía de la naturaleza y la del espíritu. Esta última, a su vez, está integrada por tres partes principales: la ciencia del espíritu subjetivo, la del espíritu objetivo y la del espíritu absoluto. El espíritu subjetivo se manifiesta en el desarrollo de los individuos; el objetivo, en la sociedad, en el Estado, en los pueblos y en su historia; el espíritu absoluto unidad del espíritu subjetivo y objetivo, en el arte, en la religión y en la filosofía. El Estado y el derecho quedan incluidos en la esfera del espíritu objetivo. El sentido de todo este sistema idealista radica en que el conocimiento filosófico acerca del mundo se manifiesta sólo cuando ¡a realidad ha concluido su proceso de formación, cuando ha culminado. La defectuosidad de ese sistema estriba en que tiene por base le tesis idealista referente, a la identidad del pensamiento y la existencia. Hegel afirma que el raciocinio representa, no solamente una completa analogía de la existencia, sino también su esencia. Hegel presenta el fin de la historia de modo tal, escribe Engels, que la humanidad llega a cobrar conciencia de sí misma, y esa conciencia se logra en la filosofía hegeliana. Esa idea absoluta había de materializarse, según Hegel, en la monarquía limitada por estamentos que el rey prusiano Federico III "prometiera a sus súbditos tan tenazmente y tan en vano". La defectuosidad del sistema hegeliano se revela en la orientación idealista de su dialéctica. Las leyes de ésta, en el sistema de Hegel, no son deducidas de la naturaleza y de la historia, sino impuestas a estar, últimas como leyes del pensamiento. De aquí se deriva toda la tortuosa y a veces artificial construcción: el mundo quiéralo o no debe concordarse con el sistema lógico y este mismo es tan sólo producto de una determinada fase de desarrollo del pensamiento humano. Incluso la geografía, en el sistema hegeliano, se acomoda a su lógica. Estima a Europa, en cuyo centro se encuentra Alemania, como la parte más racionalmente organizada del mundo. LA SOCIEDAD, EL ESTADO Y EL DERECHO SEGÚN LA TEORÍA HEGELIANA La sociedad, el estado y el derecho según la teoría hegeliana, constituyen formas de manifestación del llamado espíritu objetivo. En el trabajo Sobre los modos de elaboración científica del derecho natural, aparecido en 1802, Hegel sometió a crítica la teoría contractual de la formación del Estado y los postulados progresistas de la teoría del derecho natural Declaró que un "organismo moral" debe dividirse en castas, iguales a las que Platón había descrito. En este mismo trabajo, Hegel justifica la guerra, a la que considera como una medicina que previene a los pueblos contra el estancamiento y la descomposición, y se manifiesta contrario a la idea kantiana de la paz perpetua. En su Fenomenología del espíritu, que vio la luz pública en 1807, Hegel ofrece una explicación idealista del proceso de origen del Estado y del derecho; poniendo de relieve su actitud hostil ante la dictadura jacobina, la que representaba una fase superior en la evolución de la revolución burguesa francesa, postula que en ella se pone al descubierto la falacia del dogma fundamental de la Ilustración acerca de la igualdad natural de los hombres, mientras que éstos, a juicio del filósofo, por naturaleza, son desiguales. Igualar a los hombres, afirma, desnaturalizando la propia idea de igualdad, significa cortarles las cabezas, ya que en ellas se oculta la desigualdad de talento, de conocimiento, de modo de pensar, de estado de ánimo, etc. Los aspectos reaccionarios de la teoría hegeliana relativa al Estado y al derecho se manifiestan con particular nitidez en las obras escritas durante el periodo berlinés de su actividad, a saber: en Filosofía del derecho, en Filosofía d« la historia y, finalmente, en el articulo Acerco de la reforma, electoral en Inglaterra, aparecido en 1831. En estas obras Hegel emite concepciones nacionalistas y exalta el régimen del Estado de Prusia, Filosofía del derecho es la parte del sistema hegeliano en la que muestra las etapas de desarrollo del llamado espíritu objetivo, o sea, del "mundo de la libertad", independiente con respecto a los individuos y a su arbitrariedad. Hegel construye su interpretación de la esencia del Estado y del derecho sobre la famosa tesis: "todo lo real es racional, y todo lo racional es real". Esta tesis de Hegel, como lo hizo notar Engels, suscitó una doble actitud. "No ha habido tesis filosófica sobre la que más haya pesado la gratitud de gobiernos miopes y la cólera dé liberales, no menos cortos de vista. Engels escribía también que en todas las normas del método hegeliano del pensamiento (es decir, de la dialéctica), la tesis que proclama que todo lo real es racional se convierte en esta otra tesis: todo lo que existe, merece perecer, ya que todo lo que es real, dentro de los dominios de la historia humana, se convierte con el tiempo en irracional y todo lo que es racional en la cabeza del hombre se halla destinado a ser un día real, por mucho que hoy choque todavía con la aparente realidad existente. Partiendo de la afirmación sobre la identidad de lo real y lo racional, Hegel refuta el principio fundamental de la escuela del derecho natural, al contraponer a éste el derecho positivo. El derecho, según lo define Hegel, es "la existencia efectiva del libre albedrío", que se realiza en la evolución a través de una serie de fases ascendentes sucesivas. La primera fase se traduce en la posesión de una cosa por la persona (la propiedad) y en las relaciones mutuas con otras personas con respecto a la propiedad (contrato y trasgresión de la ley). Hegel da a esta fase el nombre de derecho abstracto que, propiamente, comprende la esfera de las relaciones jurídicas civiles y los fundamentos del derecho penal. La segunda fase constituye la actitud de la persona frente a sus actos. Esta fase se llama moral. Esta última presupone la valoración objetiva de juicios subjetivos acerca del bien y del mal, y requiere el paso a la fase superior, la moralidad. En ésta queda superada la limitación del individuo, primeramente en la familia, después en las interrelaciones de sus miembros en tanto que personas independiente dentro de la sociedad civil y, finalmente, en la fase superior del desarrollo de la moralidad, en el Estado. De modo, pues, quo si traducimos a un lenguaje más comprensible la terminología confusa y frecuentemente poco definida de Hegel, se pueden extraer las siguientes conclusiones: Hegel distingue el concepto de derecho, en el estrecho y en el amplio sentido de esta palabra. En su primera acepción, el derecho abstracto regla, principalmente, las relaciones humanas en la esfera de posesión de las cosas. En la segunda, determina toda la esfera de las relaciones sociales, y comprende al Estado e incluso a la historia universal. La moral y la moralidad no coinciden. La primera es una valoración subjetiva que el individuo hace del bien del mal, la segunda es el orden establecido en diferentes formas de contacto entre los hombres, en la familia, en la sociedad y en el Estado. La filosofía hegeliana del derecho se caracteriza por una profunda contradicción entre la teoría del derecho abstracto y la del derecho como expresión objetiva de la libertad, cuya fase superior de desarrollo es el Estado. En la teoría relativa al derecho abstracto, Hegel expone concepciones características de los ideólogos de la burguesía. Pero cuando emite sus opiniones sobre la esencia del Estado y del derecho público, defiende la necesidad de la existencia de las instituciones de origen feudal, las cuales traban el libre desarrollo del capitalismo. Ensalzando por todos los medios el Estado policiaco prusiano, no objeta en cambio la realización de algunas reformas liberales. Dos circunstancias sumamente importantes determinaron la imperiosa necesidad de crear tal teoría. Por un lado, la nobleza feudal se veía obligada a adaptarse a la penetración del capitalismo en la Alemania atrasada y trataba de valerse de uno de los "derechos sagrados" "del hombre y del ciudadano" la propiedad privada en defensa de sus propios intereses, sin renunciar al poder político. Por el otro, la burguesía alemana temía mortalmente a las masas populares y a la revolución y aceptó hacer concesiones a la nobleza y a la monarquía feudal. A la luz de estas circunstancias se torna particularmente claro el sentido de la teoría hegeliana acerca del derecho como "la existencia efectiva de la libertad". En su interpretación de la esencia del derecho, Hegel discrepa de Kant y de Fichte al afirmar que el derecho no representa la restricción, de la arbitrariedad de uno o de otro sobre la base de la ley de la libertad, sino "la existencia efectiva de la libertad misma". La persona debe dominar la esfera exterior de la libertad para realizarla, lo cual se traduce en el derecho de propiedad sobre la cosa. Esta propiedad puede ser dominada, ya que es algo diferente del espíritu no libre, impersonal y carente de derechos. El derecho de propiedad sobre la cosa es un derecho de la persona. En estas formulaciones se revela la actitud positiva de Hegel ante el principio fundamental del derecho civil burgués, que sanciona la inviolabilidad de la propiedad privada. Hegel defiende la desigualdad existente, y postula que las personas son iguales tan sólo en el aspecto jurídico. Niega la posibilidad de la igualdad económica, argumentando que las peculiaridades de las personas provocan inevitablemente la desigualdad entre ellas. En defensa de los intereses de los explotadores, Hegel anuncia que la igualdad económica sería injusta. Del derecho de propiedad, como dominación de la persona sobre la cosa, Hegel deduce el contrato, que representa un acuerdo entre personas libres que poseen propiedad y que se la reconocen mutuamente. En el contrato se traduce la voluntad general de las personas que entran en reilaciones contractuales. Cuando la voluntad particular adopta una actitud negativa ante la voluntad general, sobreviene la trasgresión del derecho, o la falacia. Una de las formas de ésta es el delito, que por ser la negación del derecho, exige el restablecimiento de éste mediante la negación de tal negación, o sea, exige la pena. Hegel, igual que Kant, ve en la pena una finalidad de por sí; y niega las teorías sobre la pena que quieren ver en ella un medio para otras finalidades, la intimidación, la reparación, etc. Por esta razón Hegel rechaza la teoría de la pena de Anselmo Feuerbach, quien cimentó dicha teoría sobre el principio de la intimidación. Esta teoría, afirma Hegel, parte de la interpretación del hombre como un ser no libre, sobre el cual la amenaza debe obrar igual que el bastón que se alza sobre un perro. El derecho y la justicia deben tener por morada la libertad y la voluntad, razón por la cual, dice Hegel, no se puede proceder con el hombre igual que con un perro. La pena, según Hegel, es el desquite. Sin embargo, niega la forma grosera del Tallón, que puede convertir el desquite en un absurdo. El desquite no es la venganza, que es algo personal, sino la consecuencia inevitable del propio delito. La pena ejecuta la exigencia de la equidad. Esta forma de anulación de la trasgresión no es una justicia vengativa, sino sancionadora; representa la expresión, no de la voluntad particular, sino de la general. Desde el punto de vista de Hegel, el propio delincuente debe reclamar una pena para si llega hasta afirmar que la pena es un derecho del delincuente, ya que es un acto de su propia voluntad que niega el derecho, tras del cual debe seguir la negación de la negación, o sea, la restauración del derecho mediante la pena. No se puede dejar de ver en la teoría hegeliana relativa a la pena la influencia de las ideas progresistas referentes a la dignidad de la personalidad humana. Ello se nota en el hecho de qua Hegel no quiere ver en el delincuente un simple objeto de administración de justicia, sino que lo eleva al rango de un ser libre y autodeterminarte. Pero, con la ayuda de esta teoría, Hegel justifica la política punitiva de la sociedad explotadora, y da tan sólo una expresión más sutil al derecho antiguo del desquite, el jus tolionis. LA TEORÍA RELATIVA A LA MORAL DE HEGEL En la teoría relativa a la moral, Hegel entra en consideraciones referentes a la categoría más importante del derecho penal, la culpa y sus formas, y ofrece también la crítica de la moral individualista. Bien entendido que esta crítica se hace desde las posiciones del idealismo. En la actuación del hombre Regel distingue entre las acciones y las actitudes,, y trata de resolver el problema relativo al vínculo causal en el terreno del derecho penal y también el relativo al aspecto objetivo y subjetivo de la acción delictuosa. Las actitudes son la manifestación de la voluntad moral, dice. Toda acción de un hombre provoca ciertas consecuencias, pero la voluntad moral puede reconocer la actitud que ha provocado consecuencias nocivas, sólo tal y como había sido concebida y deseada. Sólo sobre esta base se puede imputar a la voluntad la acción que haya provocado consecuencias delictuosas. En ello radican "la intención y la culpa". Hegel habla únicamente de una sola forma de la culpa, la intencional, sin mencionar la imprudencia. Considera como actitud sólo la acción en la que existe culpa. Por tal razón, Edipo, que había dado muerte a su padre sin saberlo, no puede ser inculpado de parricidio. La intención persigue alguna finalidad, pero la finalidad principal de la voluntad es el bien de la persona. La intención se convierte entonces en un propósito, cuyo contenido es el bien. Tal intención constituye cierta forma de la moral Pero ésta no es la fase superior de la moral, ya que tiene un valor relativo, y no absoluto. El bien en el sentido absoluto es hacer bien, y la intención y el propósito en el sentido absoluto es la conciencia, o sea, un estado de la voluntad en el que ésta confía en el carácter "universal" de sus acciones. El bien como finalidad moral incondicional es el deber. Hegel somete a crítica la teoría de Kant y de Fichte relativa a la moral, estimando que la moral es tan sólo una interpretación subjetiva del bien que adopta diferentes formas. La valoración puramente subjetiva del bien y del mal es inconsistente, y requiero una base objetiva, o sea, pasa del terreno de la moral al de la moralidad, constituyendo esta última la unidad de lo objetivo y de lo subjetivo. Esta crítica hegeliana de la teoría kantiana y de la de Fichte relativa a la moral, constituye un modelo de su crítica desde la derecha, desde posiciones del idealismo militante. La teoría kantiana de la moral no le satisface a Hegel, por cuanto posterga para el mundo de ultratumba la realización del imperativo categórico. Partiendo de su propia tesis: "lo que es racional es real" y "lo que es real es racional", Hegel no pudo hacer la paz con esta moral estéril, por cuanto consideraba necesaria la realización práctica de la moral de las clases dominantes. Tampoco pudo aceptar la moral subjetiva de Fichte, por cuanto tuvo necesidad de hallar, para la moral de la clase dominante, una base objetiva y obligatoria para todos. Esta razón mueve a Hegel a buscar una salida para el paso de la moral que sólo ofrece un criterio subjetivo de valoración del bien y del mal al terreno de la moralidad, a la que presenta como una base objetiva e independiente, con respecto a la arbitrariedad de los individuos, para la apreciación del bien y del mal. Pero Hegel, como idealista que era, busca esta base, no en las relaciones sociales, sino en el espíritu; desconoce el carácter de clase de la mural, y la considera expresión de la voluntad general de los individuos, unidos por lazos morales dentro de la familia, de la sociedad civil y del Estado. La moralidad es la fase superior del desarrollo del espíritu objetivo. Es el mundo espiritual y orgánico, la unidad de lo general y de lo singular, y los individuos no son sino elementos orgánicamente vinculados con este todo íntegro que dirige la vida de los individuos. Las leyes del todo íntegro no les son ajenas, por cuanto el individuo se reconoce como parte de lo íntegro y se considera obligado para con las exigencias de éste. La moralidad atraviesa por tres etapas de desarrollo. Su forma originaria, de unidad natural, es la familia; la diferenciación de ésta, la formación de numerosas familias, da vida a la sociedad civil como interacción de individuos independientes; finalmente, la unidad superior, acabada y que reconcilia todas las contradicciones, se da en el Estado. Hegel fija la situación de la mujer dentro de la familia en el mismo espíritu que Kant y Fichte, La misión de la mujer es desarrollar su vida dentro de la familia. Las mujeres pueden ser cultas, pero las ciencias superiores, como la filosofía, no son para ellas. La diferencia que existe entre la mujer y el hombre es la misma que existe entre los vegetales y" los animales. El Estado se ve expuesto a un peligro cuando las mujeres se encuentran al frente del gobierno. Hegel se da cuenta de que en la llamada sociedad civil aparecen la desigualdad y la diferenciación de clases, pero estima esta situación absolutamente legítima. Donde el lujo alcanza en un polo su florecimiento, igualmente grandes son en el otro polo la necesidad y el desamparo. La aparición del proletariado, o, como Hegel lo denomina, "el populacho", facilita la concentración de riquezas desmesuradas en pocas manos. Pero, a su juicio, lo mejor de todo es abandonar a los pobres a su propia suerte y ofrecerles la posibilidad de obtener los medios de subsistencia mediante la mendicidad manifiesta. Hegel estima que la desigualdad de bienes es completamente natural, por cuanto es consecuencia de la posesión de capital y brota de las diversas peculiaridades corporales y espirituales. Justificando la división de la sociedad feudal en castas, Hegel afirma que en la sociedad civil en virtud de la diferenciación de las necesidades y la división del trabajo es indispensable la división de la sociedad en agrupaciones y sistemas diferentes unos de ¡os otros, entre los cuales quedan distribuidos los individuos, es decir, en castas. Si la familia es la primera base del Estado, las castas son la segunda. Dado que el derecho, según él, va enderezado a lo universal, y dentro del sistema de las felicidades es sumamente importante también el bien particular (o sea, el mío personal), este último exige una protección, que es ejercida por la policía y por las corporaciones. La tarea de la policía radica en oponerse a todos los peligros, a las acciones casuales e imprudentes que infringen el orden y la seguridad sociales, en prevenir las trasgresiones del derecho que se intenten y en descubrir a los culpables de las cometidas, etc... Hegel, además, se siente particularmente intranquilo por el "populacho", o sea, por el proletariado. La gente no se vuelve populacho por la pobreza, sino por un estado de ánimo que se asocia a ésta, es decir, por una indignación interna en contra de los ricos, de la sociedad y del gobierno. Por eso, la tarea de la policía (y más si es previsora) consiste en impedir la rebelión "del populacho". Hegel enuncia con tanta sinceridad la interpretación de las tareas de la policía, que sobra todo comentario para poner al descubierto la esencia de clase de su posición en este problema. La salvaguardia de los derechos de la sociedad civil se realiza, no sólo por !a policía, que vigila el orden externo, sino también por las corporaciones, o sea, por asociaciones sociales especiales, la pertenencia a las cuales se determina por la actividad y por la facultad para el trabajo. Estas corporaciones garantizan a cada miembro de la sociedad civil la seguridad, el cuidado de él, crean la significación en la sociedad y el honor de casta. Esta teoría relativa a la corporación tiene por objeto, en forma totalmente evidente, dar una fundamentación al régimen de castas de Alemania. La unidad superior de todos estos elementos la da el Estado. Pero éste no es el resultado sino el fundamento, tanto de la familia como de la sociedad civil; antecede a todo ello, y su base, igual que lo íntegro, precede a sus partes. Aquí Hegel reproduce la famosa concepción aristotélica sobre el Estado según la cual éste, como un todo íntegro, precede a sus partes. En su trabajo Crítica de la filosofía hegeliana del derecho, Marx pone al descubierto esta desvirtuación de la realidad, que brota del idealismo de Hegel, por cuanto según éste la familia y la sociedad civil han sido creadas por la idea real, y en la realidad son el elemento motriz, convertidas por sí en Estado. Hegel refuta categóricamente la concepción jurídico-natural con respecto al Estado, que no es, ni mucho menos, a su juicio, una institución de seguros, ni ha sido creado, en absoluto, como garantía que salvaguarde la libertad de la persona y de la propiedad. El Estado no es un medio que sirva a los intereses de las diversas personas. Tal interpretación de la esencia del Estado disminuye, según Hegel, su verdadero valor. El Estado no sirve sino que impera, no es un medio, sino un fin, un fin en si, superior a todos los demás. "La existencia del Estado es el cortejo de Dios en el mundo. La autoridad del Estado, según afirma Hegel, no depende de un capricho, y tiene un carácter incondicional y divino. La idea del Estado se realiza dentro del Estado, cuyo régimen Hegel denomina derecho estatal interno; luego, en las relaciones de los Estados entre sí, o sea, en el derecho internacional, al que Hegel entiende como un derecho estatal exterior; finalmente, en la idea universal, como fuerza absoluta que se opone a los Estados aislados y que se manifiesta como espíritu de la historia universal. En la teoría referente al derecho estatal interno, en lugar de la división de los poderes legislativo, ejecutivo y judicial, Hegel propone otra división: legislativo, judicial y principesco. Este último, según la idea del filósofo, representa la unidad del poder ejecutivo y legislativo. El poder principesco es la cumbre y el comienzo de la monarquía constitucional, en la que Hegel ve una "racionalidad real", un resumen del proceso histórico mundial En el poder principesco se traduce a soberanía del Estado. Como unidad de lo general, lo particular y lo singular, el Estado es una individualidad expresada en el poder principesco, que en última instancia, con su "yo quiero", da la última palabra. El carácter arbitrario de estos juicios de Hegel es puesto brillantemente al descubierto por Marx en su crítica de la filosofía hegeliana del derecho, en la que revela la confusión y la contradicción en el concepto de la soberanía, que, según Hegel, es dividida entre el pueblo y el monarca. El poder legislativo, a juicio de Hegel, debe traducir, no los intereses del pueblo, que no sabe lo que quiere, sino los de las castas. Hegel es partidario de una representación de castas. La finalidad de la Constitución debe ser un régimen público racional. La institución legislativa debe representar a las castas y no al pueblo, y estar integrada por dos cámaras. La primera sirve de eslabón intermedio entre el poder ejecutivo y la sociedad civil En ella está representada la llamada "casta sustancial de la moralidad natural", o sea, la nobleza, cuyo patrimonio se compone de bienes inalienables. La vocación de los nobles es el conservadurismo, por cuanto están facultados a servir de apoyo del trono y de la "sociedad". La segunda cámara está Integrada por "la parte móvil de la sociedad civil", o sea, de las castas de los artesanos, de los comerciantes, de los fabricantes, etc. De estos círculos salen los diputados, que son elegidos en virtud de la confianza de la sociedad. El poder ejecutivo es ejercido por el monarca y les funcionarios. Los miembros del gobierno y los funcionarios forman la parte principal de la casta media. Así, pues, la teoría hegeliana sobre el Estado representa la defensa del sistema público prusiano, con algún perfeccionamiento del sistema medieval de representación de castas, que en Alemania quedó formalizado en el Reichstag y en los Londtog locales. Hegel da una preferencia evidente a la casta de los junkers y a la burocracia y exige la institución de un mayorazgo para la nobleza a fin de conservar su peso específico. Esta tesis de Hegel se halla en contradicción con su teoría acerca del derecho ilimitado de la propiedad privada. Un carácter no menos reaccionario tiene su teoría referente al derecho internacional. Los Estados entran en relaciones mutuas, amistosas u hostiles En estas últimas, el Estado que está expuesto » un peligro debe declarar la guerra. La guerra defensiva puede convertirse en agresiva. Hegel habla patéticamente de la gran fuerza curativa de la guerra. Ve en ella también un medio para la lucha contra la revolución, ya que las naciones en cuyo seno existen "antagonismos irreconciliables", encuentran "la tranquilidad interna gracias a las guerras en el exterior". Hegel somete a crítica la idea kantiana de la paz perpetua, así como la posibilidad de su realización en una federación de Estados. En las relaciones mutuas entre los Estados, dice Hegel, éstos proceden como "particulares", realizando los principios del espíritu de los pueblo. En la lucha entre los pueblos interviene el "espíritu mundial", que ejerce su propio derecho. Pero este espíritu mundial, de por si y por la historia mundial, no es solamente un tribunal, sino el necesario desarrollo de los elementos de la razón y, por consiguiente, también de los elementos de la conciencia propia del espíritu y de su libertad. La historia mundial es el progreso de la conciencia de la libertad. En la filosofía de la historia de Hegel se revelan su nacionalismo y su admiración por el sistema estatal prusiano. Al afirmar que la historia mundial es el progreso de la conciencia de la libertad, Hegel trata de dar cabida a toda la historia mundial en esquemas arbitrarios por él Inventados. La historia universal se dirige del Este al Oeste. "La historia universal es la disciplinización de la desenfrenada voluntad natural y su elevación al grado de la universalidad y de la libertad subjetiva." El Este sabe que un solo hombre es libre, el mundo griego y romano sabe que algunos son libres, y el mundo germánico sabe que todos son libres. De conformidad con ello, la primera forma estatal del mundo es el despotismo, la segunda la aristocracia o la democracia, la tercera, la monarquía. Este esquema del proceso histórico no sólo es arbitrario, sino que constituye una grosera falsificación de la historia. Él propio Hegel reconoce que la esclavitud no quedó suprimida inmediatamente después de la adopción del cristianismo, y desconoce totalmente el derecho de servidumbre; bajo el feudalismo y la esclavitud asalariada bajo el capitalismo, o sea, hechos que en modo alguno se avienen bien con la libertad universal en el llamado mundo germánico. La reducción de toda la historia moderna a la de los pueblos germánicos constituye un testimonio del nacionalismo de HegeL En su filosofía de la historia manifiesta una actitud arrogante ante loa pueblos "inferiores", lo cual destaca la orientación reaccionaria de sus concepciones. Habla con desdén de los eslavos. Aun cuando en su filosofía de la historia habla de la revolución francesa como de un esplendoroso amanecer, como de una época que festejaban todos los seres pensantes, esto, sin embargo, no nos debe hacer incurrir en un error, ya que en el mismo trabajo afirma que las ideas de la revolución han fracasado, y en primer lugar en Francia. Hegel exalta el régimen que se había formado en Alemania y considera necesario conservar la monarquía, afirmando que no es siquiera esencial el que el monarca sea noble o no, ya que el vigor de este Estado radica en su racionalidad

ÍNDICE Introducción Historia de la Matemática en la Antigüedad China Zhang Heng Yang Hui Zu Chongzhi Grecia Pitagora Euclides Arquimedes Platon Apolonio Tales de Mileto Ptolomeo Aristóteles Egipto Heron Roma Babilonia Conclusión Bibliografía La siguiente investigación trata sobre la Matemática en la antigüedad y sus precursores, en la cual hay que tener en cuenta que es una de las ciencias más antiguas en la historia de la humanidad. Los conocimientos matemáticos fueron adquiridos por los hombres ya en las primeras etapas del desarrollo bajo la influencia, incluso de la más imperfecta actividad educativa. A medida que se iba complicando esta actividad, cambió y creció el conjunto de factores que influían en el desarrollo de las matemáticas, siendo este desarrollo observable a lo largo de toda su historia, la cual, está plagada de ejemplos que muestran cómo las matemáticas surgieron de la actividad productiva de los hombres. Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones. Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso. Los egipcios utilizaban sumas de fracciones, junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. Las matemáticas griegas destacaban en el campo de la geometría pero la matemática romana era básicamente contabilidad. El desarrollo de Roma es más importante desde un punto de vista estrictamente tecnológico (desarrollo de infraestructuras a una escala considerable). Los romanos carecieron casi por completo de creatividad matemática: durante cerca de ¡once siglos! no hubo ningún matemático (destacado) romano. La actividad romana acerca de las matemáticas viene dada por las palabras de Cicerón: Los griegos dieron al geómetra el más alto honor; de acuerdo con esto, nada tenía un progreso más brillante que las matemáticas. HISTORIA DE LA MATEMÁTICA EN LA ANTIGÜEDAD Las matemáticas aparecen como herramienta utilitaria en las civilizaciones mesopotámicas y egipcias. Siglos después los griegos las utilizan con dos aspectos diferenciados, el de herramienta práctica y como ciencia para el desarrollo de la inteligencia; dualidad que sigue vigente . Las matemáticas de la antigüedad eran la aritmética, ciencia de los números, y la geometría, ciencia de la forma y de las relaciones espaciales. Platón define como geometría en su República: Es el conocimiento de lo que siempre existe". Definición que puede aplicarse a toda la Matemática. Los textos de matemáticas más antiguos proceden de Mesopotámica, textos matemáticos cuneiformes de hace más de 5 000 años. Sumerios y babilonios ya utilizaban complejos sistemas de numeración y otros procedimientos matemáticos. Los conocimientos matemáticos de los egipcios fueron rudimentarios pero muy prácticos. Su principal texto fue el papiro de Rhind, debido a un escriba del reinado de Ekenre Apopi, hacia 1 600. En el año 1899 apareció, cerca de Bagdad (Irak), las ruinas de la Babilonia de Nabucodonosor, las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a. C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones. Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a. C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso. Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (Œ), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, “era la suma de las fracciones y ~. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi. El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el ejemplo anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 × (†), o 2 + 27 × (†) + 10 × (†)-2. Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10). Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de Ã. CHINA En China, el emperador Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) ordenó en el 212 a. C. que todos los libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue obedecido por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca de la matemática en la China ancestral. Desde la Dinastía Zhou, a partir del 1046 a. C., el libro de matemáticas más antiguo que sobrevivió a la quema fue el I Ching, que usa trigramas y hexagramas para propósitos filosóficos, matemáticos y místicos. Estos objetos matemáticos están compuestos de líneas enteras o divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente. La obra más antigua sobre geometría en China viene de Canon filosófico mohista, hacia el 330 a. C., recopilado por los acólitos de Mozi (470-390 a.c.). El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos relacionados con la física así como proporcionó una pequeña dosis de matemáticas. Después de la quema de libros, la dinastía Han (202 a.C - 220 d.C) produjo obras matemáticas que presumiblemente abundaban en trabajos que se habían perdido. La más importante de estas es Los nueve capítulos sobre el arte matemático, cuyo título completo apareció hacia el 179 d. C., pero existía anteriormente en parte bajo otros títulos. La obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura, negocios, usos geométricos para establecer las dimensiones de las pagodas, ingeniería, agrimensura y nociones sobre triángulos rectángulos y π. También se usa el Principio de Cavalieri sobre volúmenes más de mil años antes de que el propio Cavalieri lo formulara en Occidente. Se crearon pruebas sobre el Teorema de Pitágoras y una formulación matemática de la eliminación de Gauss-Jordan. Liu Hui hizo un comentario de la obra hacia el siglo III d. C. En resumen, las obras matemáticas del Han astrónomo e inventor Zhang Heng (78–139 d. C.) contenían una formulación para pi también, la cual difería de los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng usó su fórmula de pi para encontrar volúmenes esféricos. Estaban también los trabajos escritos del matemático y teórico de la música Jing Fang (78–37 a. C.); mediante el uso de la coma pitagórica, Jing observó que 53 quintas justas se aproximan a 31 octavas. Esto llevaría más tarde al descubrimiento del temperamento igual que divide a la octava en 53 partes iguales y no volvería a ser calculado con tanta precisión hasta que en el siglo XVII lo hiciese el alemán Nicholas Mercator . Los chinos también hicieron uso de diagramas combinatorios complejos conocidos como cuadrado mágico y círculo mágico, descritos en tiempos ancestrales y perfeccionados por Yang Hui (1238–1398 d. C.). Zu Chongzhi (siglo V) de las Dinastías del Sur y del Norte calculó el valor de π hasta siete lugares decimales, lo que daba lugar al valor de π más exacto durante casi 1000 años. Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del método del elemento celeste se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao. El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal . No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento. Incluso después de que las matemáticas europeas comenzasen a florecer durante el Renacimiento, las matemáticas chinas y europeas mantuvieron tradiciones separadas, con un significativo declive de las chinas, hasta que misioneros jesuitas como Matteo Ricci intercambiaron las ideas matemáticas entre las dos culturas entre los siglos XVI y XVIII PRECURSORES DE LA MATEMÁTICA EN CHINA ZHANG HENG Zhang Heng (78 - 139) fue un científico, astrónomo, pintor y escritor de origen chino. Nació en la ciudad de Nanyang, en la provincia de Henan. Trabajos principales Durante una larga época de su vida fue astrónomo real bajo la Dinastía Han del Este, y trazó uno de los primeros mapas estelares, rivalizando con el que creó Hiparco en el año 129 a. C., y desconocido para Zhang. En este mapa, situó las posiciones exactas de 2.500 estrellas y bautizó unas 320. Estimó que el cielo nocturno, del que sólo podía ver una parte, contenía 11.500 estrellas, una cifra exagerada para un observador con buena vista, pero no fue una mala estimación. Explicó los eclipses lunares correctamente, argumentando que se producían cuando la Luna atravesaba la sombra de la tierra, e imaginó la Tierra como una pequeña esfera suspendida en el espacio, rodeada por un inmenso y lejanísimo cielo esférico. En el año 123 corrigió el calendario para hacer calzar las estaciones del año. En una de sus publicaciones, Ling xián (un resumen de las teorías astronómicas de su época), aproximó el número π como 730/232 (aproximadamente 3,1465). En una de sus fórmulas usadas para cálculo de volúmenes esféricos, usó π como la raíz de 10 (aprox. 3,162) El trabajo más famoso de Zhang Heng, fue el detector de terremotos que perfeccionó en el año 132 d. C., mil setecientos años antes del primer sismógrafo europeo. Zhang asombró a la corte imperial con este dispositivo, que podía detectar terremotos tan distantes que nadie cercano lo sentía siquiera. Era un dispositivo en forma de jarrón, al que se le pegaban varias cabezas en bronce de dragones, cada una con una pelota también de bronce en su boca; alrededor del pie tenía varios sapos de bronce con las bocas abiertas. Si la máquina detectaba un temblor de tierra, una bola de bronce, automáticamente, se soltaba y caía en la boca de uno de los sapos. La posición de uno de los sapos en cuestión indicaba la dirección en la cual procedía el temblor. En una famosa ocasión, una bola cayó sin que se observara terremoto perceptible; pero, varios días después, llegó un mensajero con noticias de un terremoto en Kasu, a 600 Kilómetros de la corte y en la dirección indicada por la máquina . YANG HUI Chino simplificado: chino tradicional: pinyin: Yang Hui, ca 1238-1298.), nombre social Qianguang, fue un matemático chino de Qiantang (actual Hangzhou), provincia de Zhejiang, durante la Dinastía Song (960-1279 d.C.). Yang trabajó en los cuadrados mágicos, los círculos mágicos y el teorema del binomio; es reconocido por su presentación del Triángulo Yang Hui. Este triángulo, descubierto por su predecesor Xian Yang Jia, era el mismo que el triángulo de Pascal. Yang también fue contemporáneo del conocido matemático Qin Jiushao. La primera ilustración china del triángulo de Pascal es del libro: Xiangjie Jiuzhang Suanfa de 1262 d.C., en el cual Yang da cuenta que su método para encontrar raíces cuadradas y cúbicas utilizando el "triángulo de Yang Hui" fue inventado por el matemático Jia Xian, quien lo expuso alrededor del año 1100 (unos 500 años antes que Pascal) en si libro (ahora perdido) conocido como Ruji Shisuo o Acumulando Potencias y Desbloqueando Coeficientes, que fue conocido a través del matemático contemporáneo Liu Ruxie Jia describe el método utilizado como 'li cheng shi suo' (el sistema de tabulación para desbloquear coeficientes binomiales). El mismo aparece nuevamente en una publicación del libro de Zhu Shijie, El Espejo de Jade de las Cuatro Incógnitas de 1303 d.C. Alrededor de 1275 d.C., Yang tenía dos libros de matemáticas publicados, que eran conocidos como Xugu Zhaiqi Suanfa y Suanfa Tongbian Benmo (sumariamente llamados Yang Hui suan fa), en los que trata sobre arreglos de números naturales en círculos concéntricos y no concéntricos y sobre diagramas verticales horizontales de arreglos complejos combinatorios (conocidos como círculos mágicos y cuadrados mágicos), explicando las reglas para su construcción.[6] En su escrito, critica con dureza los trabajos previos de Li Chunfeng y de Liu Yi, que se contentaban con utilizar los métodos sin desarrollar sus orígenes teóricos o sus principios. Ilustrando una actitud moderna de las matemáticas, Yang dice en alguna ocasión: Los hombres de la Antigüedad cambiaban el nombre de sus métodos de problema en problema, de manera que no daban ninguna explicación específica, no hay manera de decir cuáles son sus bases o su origen teórico. En su trabajo escrito, Yang da la prueba teórica de la proposición que los complementos de paralelogramos que son como el diámetro de un paralelogramo dado, son iguales. Esta es la misma idea que la expresada por el matemático griego Euclides (fl. 300 a.C.), proposición 43 libro I, solo que Yang utiliza el caso de un rectángulo y el gnomon. Hay otros problemas geométricos y proposiciones matemáticas que son muy similares al sistema de Euclides. Sin embargo, los primeros libros de Euclides no fueron traducidos al chino hasta comienzos del siglo XVII, gracias a los esfuerzos conjuntos del jesuita italiano Matteo Ricci y el oficial de la Dinastía Ming Xu Guangqi. Los trabajos de Yang son los primeros en que aparecen ecuaciones cuadráticas con coeficientes negativos, si bien se lo atribuye a su antecesor, el matemático Liu Yi . ZU CHONGZHI Zu Chongzhi (pinyin Zǔ Chōngzhī, Wade-Giles Tsu Ch'ung-chih) (429-500) fue un matemático chino y astrónomo que vivió y estuvo al servicio de las dinastías meridionales Liu Song y Qi del Sur. Nació en 429 en Jiankang (hoy Nanjing). Su familia estuvo históricamente unida a la investigación astronómica, y desde su niñez estuvo en contacto con matemáticos y astrónomos. Ya desde joven se hizo muy famoso por su talento . Entre sus descubrimientos: - El calendario Daming introducido en 465. - Dos aproximaciones del número pi, sostuvo el record de la aproximación más precisa durante novecientos años. Su mejor aproximación cae entre 3.1415926 y 3.1415927, la aproximación racional 355/113 (Milü, aproximación detallada) y 22/7, Yuelü, aproximación cruda). - Dedujo que el volumen de una esfera es 4πr³/3, donde r es el radio. Aunque en realidad esto ya había sido descubierto previamente por Arquímedes: al estar Grecia y China a una distancia tan grande para los medios de entonces Zu Chongzhi tuvo que calcularlo él mismo. GRECIA Características generales: - Paso de la Edad de Bronce a la Edad de hierro - Segundo milenio antes de C hasta el 800 a.C - Decadencia de las civilizaciones prehelénicas - Surgimiento de nuevos imperios, extinción y debilitamiento de otros - Hebreos, asirios fenicios y helenos como nuevos imperios - Cultura del hierro: estímulo para los intercambios comerciales, producción de armas, etc. El milagro griego debe explicarse también desde su origen étnico y medio geográfico. En la mitad del segundo milenio y tras una larga etapa de neolítico surge en la civilización en la cuenca del egeo que alcanza su máximo esplendor con los reyes minoicos hacia el siglo XVI y XV antes de nuestra era. La cultura egea (que surge de la minoica y la micénica) parece tener su origen en el contacto entre autóctonos dolicocéfalos morenos de raza mediterránea y braquicéfala rubia, nómada del Danubio, que impusieron el idioma helénico. Después las conocidas invasiones dóricas, y posteriormente Homero. Crítica a estas primeras consideraciones de Colette: Parece justificar el "nacimiento del pensamiento griego" en función de la raza de sus protagonistas. Influencias Anteriores En el siglo VI se generaliza la búsqueda de verdad en el mundo griego en el cual se comprendía numerosas colonias distribuidas por toda la cuenca del Mediterráneo y en las costas del Mar Negro, colonias por otra parte, en contacto con las culturas egipcia y babilónica. La historia más antigua de las matemáticas fue escrita por Eudemo, discípulo de Aristóteles, perdida, citada por Proclo. En el comentario de Proclo a los elementos de Euclides se hace referencia a Tales como inventor de las matemáticas entre otras muchas cosas. También se menciona a Pitágoras (al que se le atribuye la teoría de los números irracionales) y la construcción de los cinco sólidos regulares. Dificultad de seguridad en los manuscritos (en cuanto a su originalidad), que en el caso de tablillas por ejemplo, no pueden ponerse en duda. Hiparco de Nicea: (190-120 a.c): Rodas. Hiparco utilizó epiciclos y excéntricas. El sol estaba situado en una órbita excéntrica circular fija y la luna en una órbita excéntrica circular fija y la luna en una órbita excéntrica móvil. Los movimientos de los planetas se explican con epiciclos. Recogió todos los datos existentes anteriores a él y descubrió que el año del trópico (tiempo de recorrido del sol para volver al mismo punto equinoccial) era un poco más corto que el año sideral. Consideró que los astrónomos venideros necesitarían un catálogo de la posición de las estrellas y la emprendió con ello, determinando la posición de la menos 1080 estrellas, clasificándolas por su magnitud de brillo (en seis magnitudes distintas). Mejoró la aproximación al tamaño de la luna de Aristarco hallando que la luna se hallaba a 36 diámetros terrestres (un poco exagerado pero más cerca del valor real que del calculado por aristarco de 9 diámetros) Posidonio de Apamea (aprox 100 a.n.e): maestro de Gémino de Rodas (70 a.n.e) continuaron el trabajo de Hiparco. Posidonio realizó una nueva determinación del tamaño de la tierra midiendo la diferencia y la distancia existente entre Alejandría y Rodas. El valor que obtuvo era menor que el de Eratóstenes, siendo adoptado por Ptolomeo. Claudio Ptolomeo (85 -165): Realizó observaciones en Alejandría entre el 127 y el 151, un poco menos exactas que las de Hiparco. Su cálculo de la distancia entre la luna y la tierra se hallaba más próxima al valor que le damos hoy que la aproximación de Hiparco (la actual es 30, 2 y Ptolomeo calculó 29,5) adoptó y desarrolló el sistema de epiciclos y excéntricas. Para explicar los movimientos astronómicos conocidos Ptolomeo necesito recurrir a 80 esferas, considerando algunas vez la imposibilidad física del sistema y planteándose la simple conveniencia del mismo pero no su realidad. Ptolomeo escribió además de la última obra de astronomía importante de la antigüedad, la última de geografía. Este mapa de Ptolomeo tendrá su importancia en el descubrimiento de América. En la elaboración de esta cartografía siguió las recomendaciones de Hiparco. La mayor parte de las distancias calculadas por Ptolomeo eran erróneas ya que adoptó como valor de la tierra el menor de los calculados por Eratóstenes. Sus cálculos disminuyeron la distancia real del océano atlántico (de ahí que Colón se atreviese a intentar llegar a Asia por este océano).Ptolomeo conocía más mundo que sus predecesores. El mapa de Eratóstenes por ejemplo abarcaba sólo hasta el Ganges, y Ptolomeo ya conocía de la existencia de China . Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. Particularmente se estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales". Durante la época de Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga. Estos tres últimos matemáticos citados, Euclides, Arquímedes y Apolonio, sobresalieron por encima de todos los de su tiempo y sus obras son las que han hecho que se denomine como "Edad de Oro" de la matemática al periodo comprendido entre los años 300 y 200 a.C. Tras ellos se entró en un lento declive de forma que los resultados perdieron generalidad, haciéndose cada vez más particulares y especiales. En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocido los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas. La fase final se caracteriza por la aparición de "comentaristas" que comentaban las obras clásicas, signo evidente del descenso de creatividad. Entre ellos citaremos a Gémines de Rodas (100 a.C), Teon de Alejandría (s. IV), Pappo de Alejandría (s. IV), Proclo (s.V) y Eutoquio (s. VI). Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia, desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las ciencias matemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánica teórica y el método axiomático . PRECURSORES DE LA MATEMÁTICA EN GRECIA PITAGORA Nacimiento 580 a. C. Isla de Samos (Grecia) Fallecimiento 495 a. C. Metaponto, Italia. Residencia Samos, Crotona. Campo Filosofía, Matemáticas, Música, Ética, Astronomía. Conocido por Teorema de Pitágoras, Armonía de las esferas, Afinación pitagórica. Pitágoras de Samos (en griego antiguo) (ca. 580 a. C. – ca. 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente. No se conserva ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos los pitagóricos- invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de sus seguidores. Se le atribuye a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la escuela pitagórica. EUCLIDES Euclides (en griego, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 - ca. 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría". Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (actualmente Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis: 1. Euclides fue un personaje matemático histórico que escribió Los elementos y otras obras atribuidas a él. 2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte. 3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes. Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo en relación a la teoría de la proporción y de Teeteto sobre los poliedros regulares. Su obra Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de "Los elementos" haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos: • La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. • En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras. En los libros VII, VIII y IX de los Elementos se estudia la teoría de la divisibilidad. La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea circunferencias y combinaciones de circunferencias. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo, ancho y alto. Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los elementos. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX. De los axiomas de partida, solamente el de las paralelas parecía menos evidente. Diversos autores intentaron sin éxito prescindir de dicho axioma intentándolo colegir del resto de axiomas. Finalmente, algunos autores crearon geometrías nuevas basándose en invalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las "geometrías no euclidianas". Dichas geometrías tienen como característica principal que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de un triángulo ya no suman 180 grados . ARQUIMEDES Nacimiento 287 a. C. Siracusa, Sicilia (Magna Grecia) Fallecimiento ca. 212 a. C. Siracusa Residencia Siracusa Campo Matemáticas, física, ingeniería, astronomía, invención Conocido por Principio de Arquímedes, Tornillo de Arquímedes, hidrostática, palanca, El método de los teoremas mecánicos Arquímedes de Siracusa (en griego antiguo ) (Siracusa (Sicilia), ca. 287 a. C. – ibídem, ca. 212 a. C.) fue un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos. Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia. Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi. También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos. Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214–212 a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de que no se le hiciese ningún daño. A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes no fueron muy conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría lo leyeron y lo citaron, pero la primera compilación integral de su obra no fue realizada hasta c. 530 d. C. por Isidoro de Mileto. Los comentarios de las obras de Arquímedes escritas por Eutocio en el siglo VI las abrieron por primera vez a un público más amplio. Las relativamente pocas copias de trabajos escritos de Arquímedes que sobrevivieron a través de la Edad Media fueron una importante fuente de ideas durante el Renacimiento, mientras que el descubrimiento en 1906 de trabajos desconocidos de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha ayudado a comprender cómo obtuvo sus resultados matemáticos . PLATON Platón (Atenas o Egina, ca. 427-347 a. C.) Platón se veía como un hombre joven que ha sido puesto en una carrera política. Los excesos de una vida política del ateniense parecen haberlo persuadido a rendirse a las ambiciones políticas. En particular la ejecución de Sócrates en el año 399 AC tuvo un efecto muy profundo en él. Platón estudió primeramente filosofía con su gran maestro Sócrates. Después estudió matemáticas con Arquitas de Tarento y con Teodoro de Cirene. Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio. A su regreso fundó en Atenas su famosa escuela filosófica: La Academia. Sin lugar a dudas Platón es mejor conocido por su obra filosófica. Sin embargo, su influencia en las matemáticas helénicas es bastante considerable. Creía que era imposible estudiar la Filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas. Tal vez sea éste el motivo por el cual hizo colocar, a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: no entres aquí si no eres geometra. Esta y otras proposiciones como “los números gobiernan al mundo”, nos hacen ver que estaba directamente influenciado por las teorías pitagóricas. Primeramente se deben a él algunas reglas metodológicas, dogmatizando en la Geometría el uso exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aún en nuestros días. Pensaba Platón que los geómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentos que no fueran los mencionados. Se debe también a este filósofo las directivas que debían darse en la enseñanza de la Geometría; es decir, la organización de la exposición geométrica desde el punto de vista lógico, como debe enseñarse y que camino debe seguirse. Se debe a Platón la mayor claridad de las definiciones, axiomas y postulados. Ideas de Platón sobre la Matemática: - Los objetos matemáticos no se derivan de los sentidos (son ideales). - Las verdades matemáticas, deducidas de las definiciones de los objetos ideales, son independientes de la naturaleza, y son verdades absolutas, eternas e inmutables. Aportaciones de Platón a la Matemática. - Destacar el carácter abstracto de la investigación matemática, subrayando la necesidad de utilizar el método axiomático. - Elevar esta ciencia a paradigma de saber riguroso APOLONIO Apolonio de Perga (Griego antiguo: Ἀπολλώνιος) 200px Nacimiento 262 a.C. Pérgamo Fallecimiento 190 a.C. (72 años) Alejandría Campo matemático y astrónomo Conocido por teoría de los epiciclos, Problema de Apolonio Fue un geómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola. También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la Luna. Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre de El Gran Geómetra. Sólo dos obras de Apolonio han llegado hasta nuestros días: Secciones en una razón dada (no se conserva el original sino una traducción al árabe) y Las Cónicas (sólo se conserva el original de la mitad de la obra, el resto es una traducción al árabe). Esta última es la obra más importante de Apolonio, es más, junto con los Elementos de Euclides es uno de los libros más importantes de matemáticas. Las Cónicas están formadas por 8 libros. Fue escrito cuando Apolonio estaba en Alejandría pero posteriormente, ya en Pérgamo (hoy Bergama en Turquía), lo mejoró. - El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas. - El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas. - El libro III: trata de los tipos de conos. - El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos. - El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica. - El libro VI: trata sobre cónicas semejante. - El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados. - El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice. Los métodos que utiliza Apolonio (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los utilizados por Descartes en su Geometría y se considera una anticipación de la Geometría analítica actual . TALES DE MILETO Tales de Mileto (en griego, Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (c. 620 a. C. - c. 546 a. C.) es considerado por la tradición historiográfica occidental (desde Aristóteles en el siglo IV a. C. hasta historiadores como W. K. C. Guthrie o pensadores como B. Russell en el XX) como el iniciador de la indagación filosófico científica acerca del cosmos (como un todo y también en aspectos particulares del mismo), distinguiéndose por ofrecer las primeras explicaciones registradas respecto de eventos naturales que no apelan a entidades divinas sino que se sustentan en observaciones e inferencias pasibles de ser constatadas y discutidas. Es señalado, entonces, como el primer gran impulsor en Grecia de la investigación científica (en disciplinas como las matemáticas y la astronomía) y como el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, estando a él relacionados Anaximandro quien habría sido su discípulo- y Anaxímenes quien habría sido discípulo de este último, denominándose tradicionalmente al conjunto de los tres como la escuela jónica o de Mileto. Nacido en la próspera ciudad de Mileto, en la Grecia jónica del Asia Menor, durante la década del 620 a. C, fue uno de los Siete Sabios de Grecia, reconocidos por su sabiduría práctica y por sus intervenciones políticas. Pero Tales también se destacó, a diferencia de ellos, por sus habilidades y conocimientos teóricos. Se interesó y realizó importantes aportes- en cuestiones matemáticas, astronómicas, geográficas, físicas, metafísicas y de ingeniería, además de haber aconsejado exitosamente en varias ocasiones respecto de decisiones políticas no poco relevantes. APORTES MATEMÁTICOS Se atribuyen a Tales varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides: la definición I. 17 y las proposiciones I. 5, I. 15, I. 26 y III. 31. Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras que Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación. Se supone además que Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular. Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus terrenos. Más, según los pocos datos con los que se cuenta, Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies) y mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su geometría un mayor grado de complejidad y abstracción . PTOLOMEO Claudio Ptolomeo, llamado comúnmente en español Ptolomeo o Tolomeo (en griego Κλαύδιος Πτολεμαῖος, Klaudios Ptolemaios) (Tolemaida, Tebaida, c. 100 – Cánope, c. 170), fue un astrónomo, astrólogo, químico, geógrafo y matemático greco-egipcio. Tolomeo fue el último gran representante de la astronomía griega y, según la tradición, desarrolló su actividad de observador en el templo de Serapis en Canopus, cerca de Alejandría. Su obra principal y más famosa, que influyó en la astronomía árabe y europea hasta el Renacimiento, es la Sintaxis matemática, en trece volúmenes, que en griego fue calificada de grande o extensa (megalé) para distinguirla de otra colección de textos astronómicos debidos a diversos autores. La admiración inspirada por la obra de Tolomeo introdujo la costumbre de referirse a ella utilizando el término griego megisté (la grandísima, la máxima); el califa al-Mamun la hizo traducir al árabe en el año 827, y del nombre de al-Magisti que tomó dicha traducción procede el título de Almagesto adoptado generalmente en el Occidente medieval a partir de la primera traducción de la versión árabe, realizada en Toledo en 1175. Utilizando los datos recogidos por sus predecesores, especialmente por Hiparco, Tolomeo construyó un sistema del mundo que representaba con un grado de precisión satisfactoria los movimientos aparentes del Sol, la Luna y los cinco planetas entonces conocidos, mediante recursos geométricos y calculísticos de considerable complejidad; se trata de un sistema geocéntrico según el cual la Tierra se encuentra inmóvil en el centro del universo, mientras que en torno a ella giran, en orden creciente de distancia, la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno. El universo geocéntrico de Tolomeo Con todo, la Tierra ocupa una posición ligeramente excéntrica respecto del centro de las circunferencias sobre las que se mueven los demás cuerpos celestes, llamadas círculos deferentes. Además, únicamente el Sol recorre su deferente con movimiento uniforme, mientras que la Luna y los planetas se mueven sobre otro círculo, llamado epiciclo, cuyo centro gira sobre el deferente y permite explicar las irregularidades observadas en el movimiento de dichos cuerpos. El sistema de Tolomeo proporcionó una interpretación cinemática de los movimientos planetarios que encajó bien con los principios de la cosmología aristotélica, y se mantuvo como único modelo del mundo hasta el Renacimiento, aun cuando la mayor precisión alcanzada en las observaciones astronómicas a finales del período medieval hizo necesaria la introducción de decenas de nuevos epiciclos, con lo cual resultó un sistema excesivamente complicado y farragoso . ARISTÓTELES Aristóteles (en griego antiguo Ἀριστοτέλης, Aristotélēs) (384 a. C. – 322 a. C.) fue un polímata: filósofo, lógico y científico de la Antigua Grecia cuyas ideas han ejercido una enorme influencia sobre la historia intelectual de Occidente por más de dos milenios. Aristóteles escribió cerca de 200 tratados (de los cuales sólo nos han llegado 31) sobre una enorme variedad de temas, incluyendo lógica, metafísica, filosofía de la ciencia, ética, filosofía política, estética, retórica, física, astronomía y biología. Aristóteles transformó muchas, si no todas, las áreas del conocimiento que tocó. Es reconocido como el padre fundador de la lógica y de la biología, pues si bien existen reflexiones y escritos previos sobre ambas materias, es en el trabajo de Aristóteles donde se encuentran las primeras investigaciones sistemáticas al respecto. Entre muchas otras contribuciones, Aristóteles formuló la teoría de la generación espontánea, el principio de no contradicción, las nociones de categoría, sustancia, acto, potencia, etc. Algunas de sus ideas, que fueron novedosas para la filosofía de su tiempo, hoy forman parte del sentido común de muchas personas. Aristóteles fue discípulo de Platón y de otros pensadores (como Eudoxo) durante los veinte años que estuvo en la Academia de Atenas. Fue maestro de Alejandro Magno en el Reino de Macedonia. En la última etapa de su vida fundó el Liceo en Atenas, donde enseñó hasta un año antes de su muerte. Astronomía Aristóteles según un manuscrito de su Historia naturalis de 1457. Aristóteles sostuvo un sistema geocéntrico, en el cual la Tierra se encontraba inmóvil en el centro mientras a su alrededor giraba el Sol con otros planetas. Aristóteles habló del mundo sublunar, en el cual existía la generación y la corrupción; y el mundo supralunar, perfecto. Esta teoría de la Tierra como centro del universo —que a su vez era considerado finito— perduró por varios siglos hasta que Copérnico en el siglo XVI cambió el concepto e introdujo una serie de paradigmas, concibiendo el Sol como centro del universo. En astronomía, Aristóteles propuso la existencia de un Cosmos esférico y finito que tendría a la Tierra como centro (geocentrismo). La parte central estaría compuesta por cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua. En su Física, cada uno de estos elementos tiene un lugar adecuado, determinado por su peso relativo o «gravedad específica». Cada elemento se mueve, de forma natural, en línea recta la tierra hacia abajo, el fuego hacia arriba hacia el lugar que le corresponde, en el que se detendrá una vez alcanzado, de lo que resulta que el movimiento terrestre siempre es lineal y siempre acaba por detenerse. Los cielos, sin embargo, se mueven de forma natural e infinita siguiendo un complejo movimiento circular, por lo que deben, conforme con la lógica, estar compuestos por un quinto elemento, que él llamaba aither ('éter'), elemento superior que no es susceptible de sufrir cualquier cambio que no sea el de lugar realizado por medio de un movimiento circular. La teoría aristotélica de que el movimiento lineal siempre se lleva a cabo a través de un medio de resistencia es, en realidad, válida para todos los movimientos terrestres observables. Aristóteles sostenía también que los cuerpos más pesados de una materia específica caen de forma más rápida que aquellos que son más ligeros cuando sus formas son iguales, concepto equivocado que se aceptó como norma durante aproximadamente 1800 años hasta que el físico y astrónomo italiano Galileo llevó a cabo su experimento con pesos arrojados desde la torre inclinada de Pisa. Biología Aristóteles fue un gran observador, estudioso y considerado padre de la Biología, describió más de 500 “vivientes”. En delfines por ejemplo describió su anatomía, comportamiento, resaltó su naturaleza social, inteligente, su respiración pulmonar, su reproducción placentaria y con lactancia, comparándola con los cuadrúpedos y con el mismo hombre.[25] Aristóteles abordó el tema del alma como biólogo, porque consideraba al alma el principio vital. Lo que está vivo, lo está gracias al alma, no a la materia. El alma es la forma del cuerpo, y hay tres tipos de alma: • El alma vegetativa (vegetales): nutrición y reproducción. • El alma sensitiva (animales): nutrición, reproducción, percepción, movimiento y deseo. • El alma racional (humanos): nutrición, reproducción, percepción, movimiento, deseo y razonamiento. Según Aristóteles, la unión del alma con el cuerpo es también beneficiosa para el alma, porque sólo así cumple sus funciones. Alma y cuerpo no son dos sustancias distintas, sino que son dos componentes de una única sustancia. Por definición, entonces, Aristóteles no podrá sostener que el alma es inmortal, pero sí que hay una parte del alma que sobrevive a la muerte. Generación espontánea La generación espontánea es una teoría sobre el origen de la vida. Aristóteles propuso el origen espontáneo de peces e insectos a partir del rocío, la humedad y el sudor. Explicó que se originaban gracias a una interacción de fuerzas capaces de dar vida a lo que no la tenía con la materia no viva. A esta fuerza la llamó entelequia. La teoría se mantuvo durante muchos años; en el siglo XVII Van Helmont, la estudió y perfeccionó. Tan sólo sería rebatida por los experimentos de los científicos Lazzaro Spallanzani, Francesco Redi y en última instancia Louis Pasteur . EGIPTO El Antiguo Egipto es la mayor civilización tecnológica de la antigüedad, el triunfo de la eficiencia y la inteligencia. Se pasa del neolítico a la historia en 2.500 años de acelerados avances técnicos. Los conocimientos científicos de los egipcios, su medicina, sus construcciones, su refinamiento siguen sorprendiendo y atrayendo. Los egipcios tenían unos conocimientos matemáticos considerablemente avanzados. Sin llegar a la madurez que más adelante tendrían los griegos, los egipcios supieron solucionar los problemas que se les planteaban: tras la inundación anual del Nilo, las lindes desaparecían y tenían que volverlas a marcar, las construcciones (pirámides, templos,...), el comercio, los repartos. Sus cálculos no eran abstractos, buscaban lo más práctico aunque no tuvieran la resolución y la reflexión teórica que después alcanzarían los griegos. Al contrario que a los matemáticos griegos, no les preocupó la resolución teórica ni la reflexión sobre problemas matemáticos (numéricos, aritméticos o geométricos), sino su inmediata aplicación práctica. Pero, sin embargo, fueron precursores. Los más importantes matemáticos griegos viajaron por Egipto y Babilonia aprendiendo de estos pueblos. Dominaron los números y sus operaciones Se conocieron los números naturales y los racionales positivos de numerador 1, su aproximación al valor de p=3'16 fue la más acertada en la antigüedad. Resolvían ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas para aplicarlas a los problemas de áreas. Aunque la suma funcionaba bien, el sistema de numeración egipcio presentaba algunas dificultades aritméticas entre las que destaca la práctica imposibilidad de organizarlos para multiplicar. Sin embargo consiguieron que la aritmética fuera su fuerte; la multiplicación y las fracciones no tenían secretos para ellos. La multiplicación se realizaba a partir de duplicaciones y sumas, y en la división utilizaban la multiplicación a la inversa. El sistema de numeración egipcio, era un sistema decimal (de base 10) por yuxtaposición, así sus números se escribían de la siguiente manera: Como puedes ver en la siguiente reproducción de los números de Sothis: Aquí se presenta unos ejemplos: Sistema de numeración los números egipcios siguientes y los nuestros al sistema egipcio. Los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es 2, 3, 4,..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios de todo tipo. Su notación era la siguiente: Siguientes operaciones y escribir el símbolo egipcio que corresponde en los puntos suspensivos? Gracias a algunos de los papiros encontrados, entre ellos el de Rhind y el de Moscú, se conoce bastante respecto a las matemáticas de los egipcios. En ellos, se conservan resoluciones de problemas, con su planteamiento, operaciones y hallazgo de solución. El principal texto matemático egipcio que se conoce, el Papiro de Rhind, fue escrito por un escriba (el único personaje que realizaba cálculos en Egipto, al que se le exigía el manejo de la multiplicación) bajo el reinado del Rey Hicso Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. C. La geometría de los egipcios Los conocimientos geométricos de los egipcios también eran considerables. Sin dichos conocimientos no habrían podido construir las pirámides o medir tierras, entre otros. La geometría egipcia junto a la babilónica, fue la precursora de la potente geometría griega. Los primeros matemáticos griegos (Tales de Mileto, Pitágoras.) viajaron por Babilonia y Egipto antes de realizar sus tratados. Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores. Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos. Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo. Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, se pueden citar las de superficie del cuadrado (a partir del triángulo), del rectángulo, del rombo y del trapecio. En cuanto al área del círculo utilizaron una fórmula que daba a p un valor bastante aproximado. En el Papiro de Rhind se encuentra: Los papiros han dejado constancia de que los egipcios situaban correctamente tres cuerpos geométricos: el cilindro, el tronco de la pirámide y la pirámide. La utilidad de cálculo volumétrico resulta fácil: se precisaba, entre otras cosas, para conocer el número de ladrillos necesarios para una construcción . Afortunadamente, el clima seco de Egipto favoreció la conservación de algunos papiros. Los principales documentos con que se cuenta en la actualidad son: 1) El papiro de Rhind. Escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a. de C. y exhumado en Tebas en 1855, es un rollo de papiro comprado en 1858 por Henry Rhind y conservado en el Museo Británico de Londres que constituye una fuente importante de la que obtenemos el conjunto de conocimientos matemáticos egipcios. Contiene 85 problemas, redactados en escritura hierática. Este texto, según Ahmes, es una copia de un texto más antiguo (2000-1800), algunos de cuyos elementos proceden quizá de períodos más antiguos. Para su resolución se realizan operaciones con fracciones, se utiliza geometría (área del rectángulo, triángulo, trapecio, círculo), cálculo de dimensiones y volúmenes de pirámide. Las cinco partes del manual de Ahmes se refieren respectivamente a la aritmética, la estereometría, la geometría, el cálculo de pirámides y varios problemas prácticos. 2) El papiro de Moscú. Rollo de papiro comprado en Egipto en 1893 y conservado en el museo de artes de Moscú, fue escrito hacia el año 1850 a. de C. por un escriba desconocido. Contiene 25 problemas relacionados con la vida práctica y se parece al de Rhind, salvo en dos problemas de particular significación. El papiro de Moscú es, junto con el de Rhind, una de las principales fuentes de información de la matemática egipcia. 3) El rollo de cuero de las matemáticas egipcias. Rollo de cuero comprado con el papiro Rhind y conservado en el Museo Británico desde 1864. En 1927 se consiguió, no sin dificultad, desenrollar este documento de cuero y encontrar en él una colección, por duplicado, de 26 sumas escritas en forma de fracciones unitarias, esto es, fracciones con numeradores unitarios. Todo parece indicar que este rollo era una copia de un manual que servía de guía práctica para un futuro trabajo, lo cual arroja mucha luz sobre el aspecto mecánico contenido en las principales fuentes de las matemáticas egipcias, de la aritmética, además de proporcionar una justificación de la supuesta existencia de tablas típicas de fracciones. 4) Los papiros de Kahun, Berlín, Reisner, Akhmén, y algunos otros completan, en algunos puntos particulares, los conocimientos matemáticos que se derivan de los tres anteriores. PRECURSORES DE LA MATEMÁTICA EN EGIPTO HERON Nacimiento Alejandría, Egipto helenístico Campo Inventor, científico, ingeniero, matemático Conocido por Eolípila Herón (o Hero) de Alejandría fue un ingeniero y matemático helenístico que destacó en Alejandría (en la provincia romana de Egipto); ejerció de ingeniero en su ciudad natal, Alejandría. Este griego es considerado uno de los científicos e inventores más grandes de la antigüedad y su trabajo es representativo de la tradición científica helenista. Sin embargo, es conocido sobre todo como matemático, tanto en el campo de la geometría como en el de la geodesia (una rama de las matemáticas que se encarga de la determinación del tamaño y configuración de la Tierra, y de la ubicación de áreas concretas de la misma especie). Herón trató los problemas de las mediciones terrestres con mucho más acierto que cualquier otro de su época; por eso se dice que fue un gran científico. Como matemático, escribió La Métrica (μετρικά), obra en la que estudia las áreas de las superficies y los volúmenes de los cuerpos. Desarrolló también técnicas de cálculo, tomadas de los babilonios y egipcios, como el cálculo de raíces cuadradas mediante iteraciones . ROMA Los romanos figuran en la historia comprende los años que van desde el 750 a.de C. Hasta el 476 de nuestra era, más o menos el mismo tiempo durante el cual floreció la civilización griega. Además, como veremos, a partir del 200 a. C., los romanos estuvieron en estrecho contacto con los griegos. Con todo, en los once siglos no hubo ningún matemático romano; además de otros detalles este hecho habla virtualmente por sí mismo de toda la historia de las matemáticas en Roma. Los romanos tenían una aritmética rudimentaria y algunas fórmulas geométricas aproximadas que posteriormente fueron complementadas por copias de las greco alejandrinas. Sus símbolos para los números enteros nos son familiares. Para calcular con números enteros utilizaban diversos tipos de ábacos. Los cálculos se hacían también con los dedos y con la ayuda de tablas especialmente preparadas. Las fracciones en Roma estaban en base 12. Se usaban símbolos y palabras especiales para designar 1/12, 2/2,..., 11/12, 1/24, 1/36, 1/48, 1/96,. El origen de la base 12 puede ser la relación existente entre el mes lunar y el año. La unidad de peso, por cierto, era el as; un doceavo del mismo era la uncia, de la que derivan nuestras onza y pulgada. El principal uso de la aritmética y la geometría en Roma fue la agrimensura, para determinar las fronteras de las ciudades y para medir terrenos para las casas y los templos. Los agrimensores calculaban la mayoría de las cantidades que precisaban usando solamente instrumentos sencillos y triángulos congruentes. Se le debe a los romanos una mejora del calendario. En los tiempos de Julio César (100-44 a. C) el año básico romano tenía 12 meses, que totalizaban 355 días. En años alternos se añadía un mes intercalado de 22 ó 23 días de manera que el año promedio tenía 366 días y ¼. Para mejorar este calendario, César llamó a Sosígenes, un alejandrino, que aconsejó un año de 365 días con un año bisiesto cada cuatro años. El calendario Juliano fue adoptado el año 45 a. de C. A partir del año 50 a. de C., aproximadamente, los romanos escribieron sus propios libros técnicos; todo el material de base, sin embargo, se tomó de las fuentes griegas. El más famoso de estos trabajos técnicos son los diez libros de Vitrubio sobre arquitectura, que datan del año 14 a. C. Aquí, también, el material es griego. Es curiosa la afirmación de Vitrubio de que los tres grandes descubrimientos matemáticos son el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, la irracionalidad de la diagonal del cuadrado unidad y la solución de Arquímedes del problema de la corona. Da otros hechos que implican el uso de las matemáticas, tales como las proporciones de las partes del cuerpo humano ideal, algunas relaciones aritméticas armónicas y relaciones aritméticas acerca de las capacidades de las catapultas. Los emperadores romanos no dieron apoyo a las matemáticas tal como hicieron los Ptolomeos en Egipto. Ni los romanos comprendían la ciencia pura. Su incapacidad para desarrollar las matemáticas es notoria, debido a que gobernaban un ancho imperio y porque lo que buscaban era la resolución de problemas prácticos. La lección que se puede aprender de la historia de los romanos es que los pueblos que desdeñan los trabajos de matemáticos y científicos altamente teóricos y desacreditan su utilidad ignoran la forma en la que se han presentado importantes desarrollos prácticos . BABILONIA Matemática en la Antigua Babilonia (2000-1600 a. C.) El período de la Antigua Babilonia es el período al cual pertenecen la mayoría de las tablillas de arcilla, que es por lo que la matemática de Mesopotamia es comúnmente conocida como matemática babilónica. Algunas tablillas de arcilla contienen listas y tablas, otras contienen problemas y soluciones desarrolladas. Aritmética: Los babilonios hicieron uso extensivo de tablas precalculadas para asistirse en la aritmética. Por ejemplo, dos tablillas encontradas en Senkerah en el Éufrates en 1854, datadas del 200 a. C., dan listas con los números cuadrados perfectos hasta el 59 y con los números cúbicos hasta el 32. Los babilonios usaban las listas de los cuadrados junto a las fórmulas para simplificar la multiplicación. Los babilonios no tenían un algoritmo para la división larga, en su lugar basaban su método en el hecho de que junto con una tabla de recíprocos. Números cuyos únicos factores primos son 2, 3 o 5 (conocidos como números 5-liso o regulares) tienen finitos recíprocos en notación sexagesimal, y se han hallado tablas con extensas listas de estos recíprocos. Recíprocos tales como 1/7, 1/11, 1/13, etc. no tienen representación finita en notación sexagesimal. Para calcular 1/13 o para dividir un número por 13 los babilonios utilizarían un aproximación tal como Álgebra: Así como en cálculo aritmético, los matemáticos babilonios también desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones. Una vez más, estos se basaban en tablas precalculadas. Para resolver una ecuación cuadrática, los babilonios usaban esencialmente la fórmula cuadrática. Consideraban ecuaciones cuadráticas de la forma donde aquí b y c no eran necesariamente enteros, pero c siempre era positivo. Sabían que una solución a esta forma de la ecuación es y utilizarían las tablas de cuadrados en reversa para encontrar raíces cuadradas. Siempre utilizaban la raíz positiva pues esto tenía sentido al resolver problemas «reales». Problemas de este tipo incluía encontrar las dimensiones de un rectángulo dada su área y la cantidad por la cual el largo exedía el ancho. Lo cual se puede resolver buscando en la tabla n3 + n2 el valor más cercano al lado derecho. Los babilonios realizaban esto sin notación algebraica, demostrando una remarcable profundidad de entendimiento. No obstante, no poseían un método para resolver la ecuación general de tercer grado. Modelos de crecimiento: Los babilonios modelaban el crecimiento exponencial, el crecimiento restringido (vía una forma de funciones sigmoides) y el tiempo doble, esto último dentro del contexto de interés sobre préstamos. Las tablillas de barro del 2000 a. C. incluyen el ejercicio «dada una tasa de interés de 1/60 por mes (no compuesta), calcular el tiempo doble». Esto da un interés anual de 12/60=20%, y un tiempo doble de 100% crecimiento/20% crecimiento por año = 5 años. Plimpton 322: Describe un método para resolver lo que hoy en día se describe como funciones cuadráticas de la forma por pasos (descritos en términos geométricos) donde él se calculan secuencias de valores intermedios v1 = c/2, v2 = v12, v3 = 1 + v2 y v4 = v31/2, de donde se puede calcular x = v4 + v1 y 1/x = v4 - v1. Las investigaciones de Robson (2001, 2002), publicadas por la Mathematical Association of America, nota que Plimpton 322 puede interpretarse como los valores siguientes, para valores numéricos regulares de x y 1/x en orden numérico: v3 en la primera columna, v1 = (x - 1/x)/2 en la segunda columna y v4 = (x + 1/x)/2 en la tercera columna. En esta interpretación, x y 1/x habrían aparecido en la tablilla en la parte desprendida, a la izquierda de la primera columna. Por ejemplo, fila 11 de Plimpton 322 puede ser generada de esta forma para x = 2. Robson señala que Plimpton 322 revela «métodos [matemáticos] pares recíprocos, geometría de copiar-y-pegar, completar el cuadrado, dividir por factores comunes regulares las cuales eran todas técnicas simples enseñadas en las escuelas de escribas» de ese tiempo. La tabla había sido interpretada por matemáticos expertos como una lista de triples pitagóricos y funciones trigonométricas; en 2002 la Mathematical Association of America publicó la investigación de Robson y (en 2003) lo premió con el Lester R. Ford Award por la interpretación moderna rechazando los errores previos. Geometría: Los babilonios conocían las reglas usuales para medir volúmenes y áreas. Medían la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo de la raíz de la circunferencia, lo cual es correcto para una estimación de π a 3. El volumen de un cilindro se calculaba como el producto de la base por la altura, sin embargo, el volumen de un cono truncado o una pirámide cuadrangular se calculaban incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases. El teorema de Pitágoras también les era conocido. Recientes descubrimientos indican que en una tablilla se usaba π como 3 y 1/8. De los babilonios deriva la milla babilónica, una medida de distancia equivalente a siete millas actuales, aproximadamente. Esta medida de distancia se convirtió en la unidad milla-tiempo, utilizada para medir el recorrido del sol, como una representación del tiempo. Los antiguos babilonios conocieron los teoremas sobre los lados y las razones de triángulos semejantes por muchos siglos, pero desconocían el concepto de medida angular y, consecuentemente, estudiaban los lados de los triángulos en su lugar. Los astrónomos babilonios mantuvieron un registro detallado de las salidas y las puestas de las estrellas, el movimiento de los planetas, los eclipses solares y lunares; todo lo cual requiere familiaridad con las distancias angulares medidas sobre la esfera celeste. También utilizaron una forma de análisis de Fourier para calcular efemérides (tablas de posiciones astronómicas), que fue descubierta en los años cincuenta por Otto Neugebauer. Los Babilonios usaban la siguiente fórmula para hacer la multiplicación más fácil, puesto que no tenían tablas de multiplicar. Aún mejor es la fórmula: Un ejemplo numérico es: Los Babilonios tenían una tabla en la que se hallaban escritos todos los cuadrados necesarios para multiplicar. La división fue para los Babilonios un proceso más difícil. No tuvieron un algoritmo para la división larga; se basaban en que de modo que fue necesaria una tabla de números recíprocos. En la actualidad aún se conservan estas tablas, con números recíprocos mayores que varios miles de millones. Las tablas en su notación numérica (que se han traducido a nuestra notación) tienen como base 60 . CONCLUSIÓN Luego de finalizar esta investigación se ha llegado a las siguientes conclusiones: Que las formas y vías del desarrollo de los conocimientos matemáticos en los diferentes pueblos son muy diversas; sin embargo, el común para todos los pueblos es que todos los conceptos básicos de las matemáticas: número, figura, área, prolongación infinita de la serie natural, entre otros., surgieron de la práctica y atravesaron un largo período de perfeccionamiento. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos. Algunos de los matemáticos más emblemáticos han sido: Tales de Mileto: Matemático- Geomatra griego. Considerado uno de los siete sabios de Grecia. Inventor del Teorema de Tales, que establece, que si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría. Pitágoras: Fundador de la escuela Pitagórica, cuyos principios se regían por el amor a la sabiduría, a las matemáticas y música. Inventor del Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Además del teorema anteriormente mencionado, también invento una tabla de multiplicar. Euclides: Sabio griego, cuya obra Elementos de Geometría, está considerada como el texto matemático más importante de la historia. 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